Hendrick Matheus: Trabalho 01

Harmonograph from Mike Swale on Vimeo.

O harmonógrafo é um aparelho mecânico que através do movimento de pêndulos usa uma caneta para desenhar formas geométricas(bastante complexas em alguns exemplos) em uma superfície. A sua invenção data da metade do século XIX e teve certa popularidade até o início do século XX. Não existe certeza em relação a quem o inventou, mas o Professor de Matemática Hugh Blackburn, é comumente creditado como inventor oficial.

Funcionamento

O funcionamento do Harmógrafo é baseado em um conjunto de pêndulos que acionam uma caneta, que registra no papel o movimento resultante do sistema. Dependendo da frequência, amplitude e fase em que os pêndulos se movem, diferentes combinações de padrões aparecem no papel.

A freqüência dos pêndulo é controlada pelo comprimento da sua haste, a amplitude varia de acordo com a altura em que o pêndulo é lançado e diminui gradativamente ao longo do tempo em função do atrito de seus componentes e da caneta sobre o papel. A fase entre os pêndulos é determinada pelo momento relativo em que cada um é lançado.

Harmonograph from Antony Hall on Vimeo.

Tipos de Harmonógrafos

O Harmonógrafo Lateral usa dois pêndulos para controlar o movimento da caneta em relação ao papel. Um pêndulo move a caneta para frente e para trás em um eixo, e outro pêndulo move o papel em um eixo perpendicular.

Existem outros tipos de harmonografo com mais pêndulos, como exemplo abaixo que possui três. Neste caso dois pêndulos trabalham perpendicularmente movimentando a caneta e mais um terceiro pêndulo livre, que pode oscilar em qualquer direção, movimenta o papel.

Modelo Matemático

O Harmonógrafo cria as figuras usando os movimentos dos pêndulos amortecidos. Este movimento é descrito pela equação abaixo:

$x(t) = A \sin (tf + p) e^{-dt}, \,\!$

A é amplitude, t representa o tempo, f é a frequência, p é a fase, e d representa o amortecimento.

Já que o pêndulo pode mover-se sobre dois eixos de uma forma elíptica, devido ao princípio de sobreposição, o movimento da haste ligada à parte inferior do pêndulo ao longo de um eixo será descrito pela equação:

$x (t) = A_1 \ sin (tf_1 + p_1) e ^ {-d_1t} + A_2 \ sin (tf_2 + p_2) e ^ {-d_2t}. \, \!$

Uma vez que o movimento da caneta é composto pelos movimentos de dois pêndulos, se repete o mesmo princípio para o pêndulo no eixo Y. Dessa forma a trajetória em um harmonógrafo pode ser descrita pelas equações abaixo:

$x (t) = A_1 \ sin (tf_1 + p_1) e ^ {-d_1t} + A_2 pecado (tf_2 + p_2) e \ ^ {-d_2t}, \, \!$

$y (t) = A_3 \ sin (tf_3 + p_3) e ^ {-d_3t} + A_4 \ sin (tf_4 + P_4) e ^ {-d_4t}. \, \!$

Modelo Computacional

A principio foi um tanto complicado adaptar o modelo matemático já apresentado, ao Processing, as primeiras tentativas geraram figuras bastantes deformadas como a imagem abaixo, acredito que em grande parte devido a

dificuldade de encontrar os valores que criassem as formas desejadas:

Após algum tempo sem conseguir muito avanço, resolvi procurar algum exemplo na Internet que pudesse ajudar a solucionar o problema. Durante a pesquisa encontrei um código em JavaScript, que utilizava praticamente o mesmo modelo que eu estava tentando adaptar, e também um outro site que apresentava valores para os parâmetros das equações para gerar figuras específicas.

Depois de transcrever trechos do JavaScript para o Processing e utilizar os valores que encontrei, acredito que alcancei objetivos mais próximos ao do trabalho proposto, abaixo está o código do programa.

float A1 = 100, freq1 = 2, fase1 = 1/16, d1 = 0.02; 
float A2 = 100, freq2 = 2, fase2 = 3 / 2, d2 = 0.0315;
float A3 = 100, freq3 = 2, fase3 = 13 / 15, d3 = 0.02;
float A4 = 100, freq4 = 2, fase4 = 1, d4 = 0.02;
  
boolean novoHarmon = true;

void setup(){

  size(400,400);
  noStroke();
  background(255);

}
void draw(){
  
   if(novoHarmon)
      harmonografo(4);
}


void harmonografo(int image) {
   
   //algumas variações de valores que
   //geram diferentes imagens
   switch(image){
     
   case 1:
   //Imagem 1
   freq1=3.001; freq2=2; freq3=3 ;freq4=2; 
   d1=0.004; d2=0.0065; d3=0.008; d4=0.019; 
   fase1=0; fase2=0; fase3=PI/2; fase4=3*PI/2;
   break;
   
   case 2:
   //Imagem 2
   freq1=10; freq2=3; freq3=1; freq4=2; 
   d1=0.039; d2=0.006; d3=0; d4=0.0045;
   fase1=0; fase2=0; fase3=PI/2; fase4=0;
   break;   
   
   case 3:
   //Imagem 3
   freq1=2; freq2=6; freq3=1.002; freq4=3;
   d1=0.02; d2=0.0315; d3=0.02; d4=0.02;
   fase1=PI/16; fase2=3*PI/2; fase3=13 *PI/16; fase4=PI;
   break;
   
   case 4:
   //Imagem 4
   freq1=2.01; freq2=3; freq3=3; freq4=2;
   d1=0.0085; d2=0; d3=0.065; d4=0;
   fase1=0; fase2=7*PI/16; fase3=0; fase4=0;
   break;
   
   
   case 5:
   //Imagem Aleatória
   freq1 = (freq1 + random(0,10) / 40)%40;
   freq2 = (freq2 + random(0,10)/40) %40;
   freq3 = (freq3 + random(0,10) / 40)%40;
   freq4 = (freq4 + random(0,10) / 40)%40;
   fase1 += 0.05 % (PI*2);

   break;
   
   
   }
 
   for (float t = 0; t < 50; t+=0.001) {
       float posX =200 + A1 * sin(freq1 * t +  fase1) * exp(-d1 * t) + A2 * sin(freq2 * t +  fase2) * exp(-d2 * t);
       float posY =200 + A3 * sin(freq3 * t +  fase3) * exp(-d3 * t) + A4 * sin(freq4 * t +  fase4) * exp(-d4 * t);
       fill(0);
       ellipse(posX, posY , 1 ,1);
   }
        
   novoHarmon = false;
}